カタランの曲線 Catalan's Curve

Scratchでカタランの曲線を描きます。カタランは数学者の名前です。



曲線を描く処理の詳細は初回で説明していますので、そちらを参照してみてください。違う曲線ですが流れは同じです。

最初に変数です。いつもとほとんど同じです。



次に本体です。今回は曲線を上と下に分割して2回の繰り返しで描画しています。最初は上半分で、角度を180度から1080度まで変化させて描画します。次に、角度を-1080度から-180度まで変化させて下半分を描画しています。



次に準備です。ペンの準備、変数の初期化、開始座標の計算を行い、開始座標に移動しています。



式はこうなっています。rは半径、aは倍率(大きさ)、θはラジアンです。
\[ r=\frac{a}{1-\theta^2} \] この式をプログラムにすると次のようになります。まず上の式を使って半径を計算し、半径と角度からX座標とY座標を計算しています。



角度からラジアンを計算するブロックは次のようになります。



移動はいつも通りです。計算で求められた座標に移動します。



完成版はこちら。

タグ：三角関数 カタランの曲線 平面曲線

Jerabek Curve

ScratchでJerabek Curveを描きます。



曲線を描く処理の詳細は初回で説明していますので、そちらを参照してみてください。違う曲線ですが流れは同じです。

最初に変数です。kは式に出てくる定数です。値を変えると曲線も変わります。その他はいつもと変わりありません。



次に本体です。角度を0度から360度まで変化させるとこの曲線が描けます。線がなめらかになるように0.1度ずつ角度を変えています。小数を使って計算すると角度の値が厳密に360にはならないので、繰り返しの脱出条件には不等号を使って「角度が360度を超えたら」としています。(詳しくはこちら。)



次に準備です。いつもほとんど同じです。変数の準備、ペンの準備、開始座標の計算を行い、開始座標に移動しています。



式はこうなっています。rは半径、aは倍率(大きさ)、kは定数、θは角度です。
\[ r=a\frac{k\cos(\theta)-1}{k-\cos(\theta)} \] この式をプログラムにすると次のようになります。最初に半径を計算し、半径と角度からX座標とY座標を計算しています。最後にX座標を左にずらし、曲線が描画領域の中心にくるようにしています。



移動はいつも通りです。



完成版はこちら。

タグ：三角関数 平面曲線 Jerabek Curve SCRATCH

豆曲線 Bean Curve

Scratchで豆曲線を描きます。



曲線を描く処理の詳細は初回で説明していますので、そちらを参照してみてください。違う曲線ですが流れは同じです。

最初に変数です。いつも通りです。



次に本体です。角度を0度から180度まで変化させるとこの曲線が描けます。



次に準備です。変数の準備、ペンの準備、開始座標の計算を行い、開始座標に移動しています。



式はこうなっています。rは半径、θは角度です。
\[ r=\sin^3(\theta)+\cos^3(\theta) \] この式をプログラムにすると次のようになります。最初に半径を計算し、半径と角度からX座標とY座標を計算しています。式には倍率はありませんでしたが、プログラムでは曲線を拡大するために倍率を掛けています。



計算の最後でX座標とY座標を調整して曲線全体を左下に移動しています。式の結果をそのまま使って描画すると、倍率が大きい場合に画面からはみ出してしまうからです。

移動はいつも通りです。



完成版はこちら。

タグ：豆曲線 平面曲線 SCRATCH 三角関数

Capricornoid

ScratchでCapricornoidを描きます。



曲線を描く処理の詳細は初回で説明していますので、そちらを参照してみてください。違う曲線ですが流れは同じです。

最初に変数です。特に目新しい変数はありません。



次に本体です。角度を0度から360度まで変化させるとこの曲線が描けます。繰り返しの中で色を少しずつ変化させています。



次に準備です。変数の初期設定、ペンの準備、開始座標の計算を行い、スプライトを開始座標に移動しています。



式はこうなっています。rは半径、aは倍率(大きさ)、θは角度です。
\[ r=a\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)+b} \] 式ではbは変数ですが、以下のプログラムでは直接1.4と書いています。この数を変化させると曲線の形が変化します。最初に半径を計算し、半径と角度からX座標とY座標を計算しています。計算の最後でY座標を下方向に調整しています。これがないと画面の上半分に曲線が描かれ、曲線が大きくなるとはみ出してしまうからです。



移動はいつも通りです。



完成版はこちら。

リサージュ Lissajous

Scratchでリサージュを描きます。



曲線を描く処理の詳細は初回で説明していますので、そちらを参照してみてください。違う曲線ですが流れは同じです。

最初に変数です。aとbは係数で、値を変化させると曲線が変化するので、スライダー表示にして値を変更できるようにしています。



次に本体です。角度を0度から360度まで変化させて曲線を描画しています。



曲線がなめらかになるように角度は0.2度ずつ変化させます。詳細は省きますが、小数を含む計算は浮動小数点数になり、「ちょうど360度」にはなりません。ですので、繰り返しの終了条件はいつもの「360度になったら終了」ではなく「360度を超えたら終了」にしています。詳しくはこちら(英語です)。

次に準備です。変数の初期設定、ペンの準備、開始座標の計算を行い、スプライトを開始座標に移動しています。



式はこうなっています。大文字のAは倍率(大きさ)、小文字のaとbは係数、θは角度です。
\[ x=A\cos(a\theta) \\
y=A\sin(b\theta) \] 式は一見単純ですが、aとbの値をスライダーで変化させると曲線が様々に変化します。



移動はいつも通りです。



完成版はこちら。

タグ：平面曲線 三角関数 Lissajous SCRATCH リサージュ